UNIT05B：內建機率分佈功能

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pacman::p_load(magrittr, vcd)

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【A】R內建的機率分布與其功能函數

R有一群內建的機率分布

• beta : dbeta()
• binomial : dbinom()
• Cauchy : dcauchy()
• chi-squared : dchisq()
• exponential : dexp()
• F : df()
• gamma : dgamma()
• geometric : `dgeom
• hypergeometric : dhyper()
• log-normal : dlnorm()
• multinomial : dmultinom()
• negative binomial : dnbinom()
• normal : dnorm()
• Poisson : dpois()
• Student’s t : dt()
• uniform : dunif()
• Weibull : dweibull()
• …其他幾乎所有叫得出名字的機率分布都可以透過套件外掛

?distributions

每一種機率分布都有四個功能函數：

• d<name>() : density or probability function
• p<name>() : cumulative density function
• q<name>() : quantile function
• r<name>() : random sampling

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【d<name>】Density Function 機率密度函數 (PDF)

d<name>用來求取對應到某一數值的機率密度， 給定機率分佈的種類和它所需要的「參數」，我們就能確定「值域」之中每一點的機率密度； d<name>通常用來畫機率密度函數

離散機率分布的PDF 和 它們的參數

par(mfrow=c(2,3), mar=c(2,4,3,2), cex=0.6)
for(n in c(10, 20)) for(p in c(0.2, 0.5, 0.8)) 
  dbinom(0:n, n, p) %>% 
  barplot(names=0:n, main=sprintf("Binom[n=%d, p=%.1f]", n, p), las=2)

連續機率分布的PDF

par(mfrow=c(2,2), mar=c(2,4,3,2), cex=0.7)
curve(dnorm(x,mean=50,sd=15),0,100,main="Normal")
curve(dunif(x,min=0,max=100),0,100,main="Uniform")
curve(dlnorm(x,meanlog=log(50),sdlog=1.5),0,100,main="Log-Normal")
curve(dexp(x,rate=0.05),0,100,main="Exponential")

傳回Normal[mean=40,sd=15]這個機率密度函數在x = 40這一點的值

dnorm(x=40, mean=50, sd=15)

[1] 0.021297

傳回Normal[mean=40,sd=15]這個機率密度函數在x = c(0,20,40,60,80,100)這些點的值

dnorm(seq(0,100,20), mean=50, sd=15)

[1] 0.00010282 0.00359940 0.02129653 0.02129653 0.00359940 0.00010282

連續PDF的兩種畫法

par(mfrow=c(1,2), mar=c(2,2,1,2),cex=0.7)
x = seq(0,100,1)
y = dnorm(x, mean=50, sd=15) 
plot(x, y, type='l')
# curve() is a easier way to plot a function (or expresion) of x
curve(dnorm(x,mean=50,sd=15),0,100)

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【r<name>】Random Sampling 隨機抽樣

r<name>常用來從給定參數的機率分佈之中隨機抽出樣本

norm50 = rnorm(n=50, mean=50, sd=10)
unif50 = runif(n=50, min=0, max=100)

par(mfrow=c(1,2), mar=c(2,2,2,2),cex=0.6)
hist(norm50,breaks=10)
hist(unif50,breaks=10)

par(mfrow=c(3,2), mar=c(3,2,2,2),cex=0.6)
for(n in c(20, 200, 2000)) {
  hist(rnorm(n, mean=50, sd=10),breaks=10,main=paste("Normal",n))
  hist(runif(n, min=0, max=100),breaks=10,main=paste("Uniform",n))
  }

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【p<name>】Cumulative PDF (CDF) 累積機率函數

p<name>求取變數落在某數值區間的機率，給定機率分佈，我們常會想要知道目標變數會落在某一個數值空間的機率，如果隨機變數X ~ Normal[mu=50, sd=10]，pnorm(x=55, 50, 10)會傳回X < 55的機率；

mu=50; sd=10
pnorm(55, mu, sd)

[1] 0.69146

🧙 問題討論：
A. 如果隨機變數X ~ Normal[mu=100, sd=20]，請求出以下機率：
  ■ P[X < 110]
  ■ P[130 > X > 110]
  ■ P[X > 130]
B. 請畫出圖形來解釋你的運算

x1 = 90; x2 = 130
p1 = pnorm(x1,100,20); p2 = pnorm(x2,100,20)
c(p1, p2 - p1, 1 - p2)

[1] 0.308538 0.624655 0.066807

par(mfrow=c(1,2), mar=c(2,2,2,2),cex=0.7)
curve(dnorm(x,100,20),40,160,main="PDF")
abline(v=c(x1,x2),col='gray',lty=3)
x = seq(x1,x2,length=100)
polygon(c(x, x2, x1), c(dnorm(x,100,20), 0, 0), col="#00E9001F", border=NA)
#
curve(pnorm(x,100,20),40,160,main="CDF")
abline(v=c(x1,x2),col='gray',lty=3)
abline(h=c(p1,p2),col='pink')

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【q<name>】Quantile 百分位函數

q<name>通常用來求取對應到某一機率的臨界值，如果隨機變數X ~ Normal[mu, sd]，qnorm(p=0.8, mu, sd)會傳回Pr[X < x1] = 0.8的臨界值x1；

qnorm(p=0.8, 100, 20)

[1] 116.83

🧙 問題討論：
A. 如果隨機變數X ~ Normal[mu=100, sd=20]，請求X的90%信賴區間
B. 請畫出圖形來解釋你的運算